În 2015, a cucerit titlul de campion mondial, la juniori, la 100 m spate (în bazin olimpic) și s-a calificat la Jocurile Olimpice de vară de la Rio de Janeiro din 2016. La 100 m spate, a doborât recordul mondial pentru juniori și a stabilit un nou record național pentru seniori (în bazin scurt).
În 2016, a fost singurul înotător român care a ajuns în faza finalelor la Jocurile Olimpice de vară de la Rio de Janeiro, în proba de 100 m spate, unde s-a clasat pe locul 8, după ce în semifinale stabilise un nou record național al României.
În aprilie 2019, a devenit primul român calificat la Jocurile Olimpice Tokyo 2020, după ce a reușit să coboare sub baremul de calificare la 100 m spate la reuniunea de la Guangzhou, din China. La Guangzhou, a înotat cele două lungimi de bazin în 53:70 secunde, baremul stabilit de Federația Internațională de Natație (FINA) pentru această probă fiind 53:85.
În mai 2021, la Budapesta, a cucerit medalia de aur la 100 m spate și a devenit primul înotător român campion european, într-o probă masculină, din istoria natației românești.
Robert Glință a scris istorie pentru România, la Campionatele Europene de nataţie de la Budapesta, iar astăzi, 30 iunie 2021, a primit titlul de Cetățean de Onoare al Municipiului Pitești.